Александр Алексеевич Остужев родился 16 (28) апреля 1874 года в Воронеже в семье паровозного машиниста.

Отучившись два года в техническом училище, на третьем году был отчислен за грубость с надзирателем. После этого сменил несколько специальностей, зарабатывая на жизнь. Сценическую деятельность начал в 1895 году в антрепризе на сцене Воронежского театра (ныне Воронежский академический театр драмы имени А.В. Кольцова), первоначально не имея образования и исполняя эпизодические роли, где его заметил А.И. Южин, пригласил в Малый театр и устроил на два года на Драматические курсы Московского театрального училища (ныне Высшее театральное училище имени М.С. Щепкина), где его педагогом был А.П. Ленский.

По окончании училища в 1898 году был принят в труппу Малого театра. Играл также в его молодёжном филиале: Новый театр под руководством А.П. Ленского, где взял псевдоним «Остужев» (от «стужа»). Наиболее распространённая версия, которую пересказывал и сам актёр, заключалась в том, что режиссёр боялся, что фамилия «Пожаров» может быть перепутана с криками о пожаре. Вскоре был вынужден покинуть театр из-за своего характера: подрался с другим актёром и был уволен. В сезоне 1901-1902 годов выступал на сцене Театра Корша, а затем был принят назад в Малый театр, где играл до конца жизни.

В конце 1900-х постепенно перешёл от романтических ролей юности к драматическим; он часто играл сына, когда М. Ермолова играла мать (к примеру, Незнамов в «Без вины виноватых». В этот период карьера актёра могла прерваться: около 1908 года он начал терять слух из-за болезни Меньера и к 1910 году полностью оглох. Однако не прекратил выступать: в августе 1909 года, незадолго до полной глухоты сыграл трагическую роль Лжедмитрия I в постановке «Дмитрий Самозванец и Василий Шуйский»; полностью потеряв слух, сыграл в новых постановках шекспировских комедий – Фердинанда в «Буре», Орландо в «Двенадцатой ночи» (1912) и Бассанио в «Венецианском купце» (1916).

Создал методику работы, чтобы остаться на сцене – запоминал полностью слова всех ролей до первой репетиции, чтобы иметь возможность читать по губам реплики коллег и иногда помогал им, выступая в качестве суфлёра незаметно от зрителей. Полностью контролировал свой голос и позже говорил, что его поздняя карьера обязана внутренней концентрации, появившейся из-за глухоты.

Глухота в сочетании с репутацией театральной звезды представляла проблему для режиссёров, и с момента потери слуха до 1935 года, когда актёр встретил режиссёра С. Радлова, он не работал ни с одним профессиональным режиссёром.

В начале 1920-х годов у актёра начался личный кризис, он отказался исполнять свои прежние роли, считая 40-летнего себя слишком старым для ролей молодых героев-любовников. Его имя не появлялось на первых полосах до 1923 года, когда он сыграл кронпринца в премьерном спектакле «Железная стена» Б. Рынды-Алексеева, а затем – в 1925 году за роль Квазимодо в постановке по роману «Собор Парижской Богоматери».

В 1929 году сыграл Карла Моора в «Разбойниках». Спектакль, несмотря на успех у публики, стал личной катастрофой для актёра: после него и до Отелло в 1935 году он получил всего одну роль – Вовы в «Плодах просвещения», совершенно чуждую ему. К январю 1935 года, когда начались репетиции Отелло, коллеги и зрители почти списали его со счетов, однако С. Радлов предпочёл А. Остужева более молодым коллегам и заново открыл его способности.

Роль Отелло стала прорывом в карьере 60-летнего актёра. Старожилы говорили, что успех Отелло превзошёл славу лучших ролей А. Южина и М. Ермоловой. К 21 декабря 1937 года спектакль был сыгран рекордные сто раз, несмотря на то, что актёр в 1936 году пережил на сцене сердечный приступ и несколько месяцев не мог выступать.

После Отелло играл Скупого рыцаря в «Маленьких трагедиях» (1937) и заглавную роль в спектакле «Уриэль Акоста» К. Гуцкова (1940).

В течение Великой Отечественной войны актёр, которому уже было почти 70 лет, выступал в составе театральных бригад перед фронтовиками. Сам он говорил, что даже триумф в роли Отелло не сравнится с ощущением нужности солдатам своего народа. В июне 1941 года исполнил на радио стихи поэта В.И. Лебедева-Кумача «Священная война», после чего к словам была написана музыка – родилась песня «Священная война». Актёр также внёс свои денежные средства в Фонд обороны.

Он вернулся в Малый театр после войны и продолжил играть. Последней премьерой стала роль Рассказчика в спектакле «Отечественная война 1812 года» по роману Л. Н. Толстого «Война и мир»; постановки «Отелло» и «Уриэля Акосты» шли вплоть до его ухода на пенсию.

Помимо сцены в качестве хобби занимался металлообработкой, его небольшое жилище состояло лишь из спальни и мастерской.

Умер 1 марта 1953 года в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище.