Глеб Александрович Стриженов родился 21 июля 1925 года в Воронеже, в семье военного. Его младший брат Олег впоследствии тоже стал известным актёром. В 1930-е годы семья переехала в Москву.

Во время Великой Отечественной войны Глеб идёт добровольцем на фронт. Однако его служба длилась недолго – в первом же бою молодой солдат был контужен. После лечения в госпитале его комиссовали.

Уже во время войны Глеб начинает играть в московских и провинциальных театрах. Он был актёром Кировского областного драматического театра, Московского театра комедии, театров Ульяновска, Владимира, Иркутска, театра Балтийского флота, Московского центрального театра транспорта, Московского театра драмы и комедии. Однако несколько позднее он решает заняться своим образованием и поступает на курс Василия Осиповича Топоркова в Школу-студию МХАТ, которую успешно заканчивает в 1953 году.

Молодого актёра также привлекало кино. В 1956 году он впервые снялся в кинофильме «Необыкновенное лето». Актер быстро становится популярным. Среди лучших его ролей в кино - Гедеонов («Миссия в Кабуле»), маркиз («Красное и чёрное»), Петька-артист («Жизнь прошла мимо»), Безработный («Монета»), Рязанцев («Третий тайм»), Офицер («Оптимистическая трагедия»), Гремин («Трактир на Пятницкой»), Якубов («Гараж»), Глан («Через тернии к звёздам»).

С 1962 года Глеб Стриженов стал актером Театра-студии киноактера. В 1974 году ему было присвоено звание Заслуженного артиста РСФСР. Его последней работой в кино стала роль в фильме «Канкан в Английском парке».

Брат Глеба Александровича Олег Стриженов как-то то сказал о нем: «Глеб – любимейший мой старший брат. Я просто его боготворил. У нас была прекрасная семья, в которой все любили друг друга бесконечно. Дерутся и ненавидят друг друга только в уродливых семьях».

В обыденной жизни Глеб Стриженов всегда вел себя очень скромно, корректно и интеллигентно. Он прекрасно играл на гитаре, замечательно исполнял романсы и страстно любил поэзию.

Глеб Стриженов был женат. Со своей супругой Лидией Сергеевной Стриженовой (Антоновой в девичестве), тоже профессиональной актрисой, он прожил более 30 лет. У них есть  дочь Елена – киновед, и сын – актер.

4 октября 1985 года Глеб Стриженов скончался в Москве после тяжелой болезни, был похоронен на Кунцевском кладбище столицы.